Si è diplomato al Conservatorio di Stato di Mosca Tchaikovsky in due discipline: violoncello (classe del professor M.Tchaikovskaya) e opera e direzione sinfonica (classe del professor V. Sinaisky). Ha continuato i suoi studi post-laurea in ensemble di archi (classe del professor A. Shilov). I suoi inseganti erano professori più importanti del Conservatorio di Mosca come T. Gaidamovich, A. Bonduryansky, R. Davidyan, K.Khachaturyan.
Korobov ha iniziato la sua carriera come direttore dell'Orchestra Sinfonica Accademica di Stato della Russia. Per tre stagioni è stato direttore principale in due importanti teatri d'opera di Mosca,  lo Stanislavsky e il Nemirovich-Danchenko Moscow Academic Music Theatre e il Kolobov New Opera Theatre.
Nel 2005 ha diretto un concerto con Eliso Virsaladze (pianoforte) e Jose Cura (tenore), "Cinemaphonia" dedicato al 60º anniversario della Vittoria nella Grande Guerra Patriottica.
Nel 2006 ha preparato un programma sinfonico in Novaya Opera per un concerto con Yuri Temirkanov e Natalia Gutman dedicato al 100 º anniversario della nascita di Dmitry Shostakovich.
Ha diretto le seguenti opere: Aida (G.Verdi), Werther (J.Massenet), Guerra e pace (S.Prokofiev), Il gallo d'oro, Eugene Onegin (P.Tchaikovsky), Cenerentola (S.Prokofiev), L'italiana in Algeri (G.Rossini), Il fiore di pietra (S.Kofiev); Café Socrate (D.Milhaud), May Night (N.Rimsky-Korsakov), Manon (J.Massenet), La sirenetta (L.Auerbach), La Forza del Destino (G.Verdi), Tatiana (L.Auerbach), La Traviata (G.Verdi), Medea (L.Cherubini). Ha collaborato con rinomati coreografi come John Neumeier in Il gabbiano, Oleg Vinogradov in Cenerentola e Yuri Grigorovich in Il fiore di pietra.   
Si esibisce spesso sia come direttore che come violoncellista. Ha lavorato con orchestre sinfoniche in Russia, Germania, Finlandia, Italia, Filippine ecc.
È direttore ospite principale presso l'orchestra Camerata di San Pietroburgo del Museo dell'Ermitage di Stato diretta da S.Sondeckis. Inoltre, è direttore artistico e direttore principale dell'orchestra da camera al Conservatorio di Stato Tchaikovsky di Mosca.
Ha diverse registrazioni di CD, comprese quelle con l'Orchestra Sinfonica Accademica di Stato della Russia.

PREMI E ONORIFICENZE
- Artista del popolo della Russia (2020)
- Artista onorato della Russia (2008)
- Artista onorato della Repubblica di Abkhazia (2012)
- Vincitore del Premio Maschera d’oro (2012)